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Coupez le tore une fois et déformez-le en un cylindre.
Coupez-le à nouveau et ouvrez-le en un carré.
Ce carré est un domaine fondamental pour l'univers des Flatlanders.
Nous voyons maintenant leur univers en utilisant seulement deux dimensions.
Les Flatlanders peuvent toujours voyager dans leur univers comme avant.
En regardant un domaine fondamental, nous devons imaginer que ses bords sont collés ensemble.
Tout ce qui quitte un bord collé revient par l'autre.
La façon dont nous les collons détermine la forme de l'espace.
Que voient les Flatlanders dans cet univers ?
Leur ligne de visée fait le tour de l'univers, et ils voient l'arrière de leur propre vaisseau spatial.
Comme les Flatlanders eux-mêmes, leur ligne de visée ne peut pas quitter leur espace bidimensionnel.
Ils voient ce qui semble être une copie d'eux-mêmes.
En effet, ils voient des images d'eux-mêmes dans de nombreuses directions.
Cette image en mosaïque montre ce que voient les Flatlanders, et que leur univers est sans limites.
En d'autres termes, ils n'atteindront jamais de bord.
À présent, l'espace n'a pas de frontière, et le vaisseau peut voyager dans n'importe quelle direction.
Cet espace est appelé un 3-tore.
Voyageons à bord du vaisseau spatial à l'intérieur du 3-tore.
Même si le 3-tore est fini, nous avons l'illusion de voler dans un espace infini.
Il n'y a que deux étoiles dans cet univers, mais nous voyons chacune d'elles encore et encore.
Ce n'est pas la seule forme possible pour l'espace.
Avant de visiter un autre univers en 3D, nous allons examiner l'espace bidimensionnel correspondant.
Son domaine fondamental est à nouveau un carré.
Cette fois, nous collons les côtés gauche et droit avec un retournement.
Cette surface est appelée un ruban de Möbius.
Quand le vaisseau spatial fait un tour complet, il revient à l'envers.
Le retournement change la forme de l'espace.
Un second tour le ramène à son état d'origine.
Regardons à nouveau ce voyage sur le carré d'origine.
Maintenant, collez le haut et le bas du carré sans le retourner.
Que voient les Flatlanders dans cet espace ?
En regardant vers le haut, ils voient le dessous de leur propre vaisseau.
En regardant devant eux, ils ne voient pas leur vaisseau juste en face à cause du retournement.
Leur ligne de visée continue de traverser le bas.
Lorsqu'elle fait le tour une seconde fois, elle est à nouveau inversée, et ils voient enfin l'arrière de leur propre vaisseau.
Les Flatlanders ont l'illusion de voir une copie inversée de leur univers,
suivie d'une copie normale.
Ils voient une infinité d'images de leur univers, la moitié inversée et l'autre non.
Et si on faisait ça en 3D ?
Deux paires de faces se connectent comme dans le triple tore.
Pour faire le retournement, on relie le haut de la face droite au bas de la face gauche, et vice-versa.
Après un trajet, le vaisseau spatial apparaît inversé, comme dans un miroir.
Après un second trajet, il retrouve son état d'origine.
Voyons à quoi ressemble cet espace de l'intérieur.
Comme en 2D, nous voyons une infinité d'images de notre vaisseau, la moitié inversée comme dans un miroir, l'autre non.
Quand nous pivotons, nos images inversées pivotent en sens opposé.
La vie dans cet espace est différente de celle dans le triple tore,
où toutes les copies du vaisseau se déplacent dans la même direction, comme un vol d'oiseaux.
Nous volons dans cette direction et voyons des vaisseaux dans les rangées voisines voler en sens inverse.
Les images miroirs tournent en même temps que nous pour suivre des trajectoires qui semblent croiser la nôtre, mais elles ne peuvent jamais nous percuter.
C'est impossible dans cet espace.
Nous n'avons examiné que quelques-unes des nombreuses formes possibles pour l'espace.
Il existe d'autres façons de coller les faces d'un cube ensemble.
Ou, au lieu d'un cube, nous pourrions utiliser une forme différente pour le domaine fondamental.
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Original transcript (English)
Cut the torus once, and deform it into a cylinder. Cut it again, and open it into a square. This square is a fundamental domain for the Flatlanders' universe. We now see their universe using only two dimensions. The Flatlanders can still travel about their universe as before.
When looking at a fundamental domain, we must imagine that its edges are glued together. Anything leaving one glued edge returns at the other. The way we glue them determines the shape of the space. What do the Flatlanders see in this universe? Their line of sight travels around the universe, and they see the back of their own spaceship.
Like the Flatlanders themselves, their line of sight can't leave their two-dimensional space. They see what appears to be a copy of themselves. Indeed, they see images of themselves in many directions. This tile picture shows what the Flatlanders see, and that their universe is boundless. In other words, they'll never reach an edge.
Now the space has no boundary, and the ship can travel in any direction. This space is called a 3-torus. Let's ride the spaceship inside the 3-torus. Even though the 3-torus is finite, we have the illusion of flying in an infinite space. There are only two stars in this universe, but we see each one over and over.
This isn't the only possible shape for space. Before we visit another 3-D universe, we'll look at the corresponding two-dimensional space. Its fundamental domain is again A-square. This time we glue the left and right sides with a flip. This surface is called a mebius strip.
When the spaceship takes a trip around, it comes back upside down. The flip makes a difference in the shape of space. A second trip restores it to its original condition. Let's watch the trip again on the original square. Now glue the top and bottom of the square with no flip.
What do the Flatlanders see in this space? Looking up, they see the bottom of their own spaceship. Looking forward, they don't see their ship right in front of themselves because of the flip. Their line of sight keeps going across the bottom. When it wraps around a second time, it's flipped again, and they finally see the back of their own ship.
The Flatlanders have the illusion of seeing a reverse copy of their universe, followed by a regular one. They see infinitely many images of their universe, half reversed and half not. What if we do this in 3D? Two pairs of faces connect as in the three Taurus.
To make the flip, connect the top of the right face to the bottom of the left face, and vice versa. After one trip, the spaceship appears mirror reversed. After a second trip, it returns to its original state. Let's see what this space looks like from the inside. As in 2D, we see infinitely many images of our ship, half are mirror reversed, half are not.
When we roll, our reversed images roll in the opposite direction. Life in this space is different than in the three Taurus, where all the copies of the ship move in the same direction, like a flock of birds. We fly this way, and see ships in neighboring rows flying in the opposite direction. The mirrored images turn as we do, to fly along paths that seem to cross ours, but they can never hit us.
That's impossible in this space. We've looked at only a few of the many possible shapes for space. There are other ways to glue the walls of a cube together. Or instead of a cube, we could use a different shape for the fundamental domain.
