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Understanding Dimensions in Cosmology
Nel discutere della struttura su larga scala del cosmo,
gli astronomi a volte dicono che lo spazio è curvo
o
che l'universo è, ehm, finito ma illimitato.
Di cosa stanno parlando?
Immaginiamo di essere perfettamente piatti, voglio dire, assolutamente
piatti, e di vivere, com'è giusto che sia, in una terra
piatta, una terra ideata e
battezzata da Edwin Abbott, uno studioso shakespeariano vissuto
nell'Inghilterra vittoriana.
Tutti a Flatlandia sono, ovviamente, eccezionalmente piatti.
Abbiamo quadrati, cerchi e triangoli, e tutti noi
ci muoviamo qua e là, e possiamo andare nelle nostre case a fare
i nostri affari piatti.
Ora,
noi
abbiamo larghezza e lunghezza, ma nessuna
altezza. Ora, queste sagome ritagliate hanno una minima
altezza, ma
ignoriamola. Immaginiamo che siano assolutamente piatte.
Stando così le cose,
noi di Flatlandia conosciamo destra e sinistra, e conosciamo avanti
e indietro, ma non abbiamo mai sentito parlare di alto e basso.
Immaginiamo
che a Flatlandia, librandosi sopra di essa,
arrivi una strana creatura tridimensionale che,
stranamente, assomiglia a una mela.
E la creatura tridimensionale vede un, un attraente,
quadrato dall'aspetto simpatico,
lo guarda entrare in casa sua e decide, con
un gesto di amicizia interdimensionale,
di salutarlo.
"Ciao", dice la creatura tridimensionale. "Come stai?
Sono un visitatore dalla terza dimensione."
Ebbene, il povero quadrato
si guarda intorno nella sua casa chiusa, non vede nessuno,
e per di più ha sentito un saluto provenire dal suo
interno, una voce da dentro.
Di certo comincia a preoccuparsi per la propria sanità mentale.
La creatura tridimensionale
non è felice di essere considerato un'aberrazione psicologica,
e così scende per entrare davvero
a Flatlandia. Ora, una creatura tridimensionale esiste a
Flatlandia
solo in parte. Solo un piano, una sezione trasversale
che la attraversa può essere vista.
Così, quando la creatura tridimensionale raggiunge per la prima volta Flatlandia, solo i
punti di contatto possono essere visti, e lo rappresenteremo imprimendo
la mela in questo tampone d'inchiostro e
posizionando quell'immagine a Flatlandia.
E
se la mela dovesse scendere, scivolando
attraverso Flatlandia, vedremmo progressivamente fette
sempre più in alto,
cosa che possiamo rappresentare
tagliando
la mela.
Così il quadrato,
col passare del tempo,
vede una serie di oggetti apparire misteriosamente
dal nulla e dentro una stanza chiusa e
cambiare forma drasticamente.
La sua unica conclusione potrebbe essere che è diventato matto.
Beh, la mela potrebbe essere un po' infastidita da
questa conclusione e quindi,
con un gesto non proprio amichevole da una dimensione all'altra,
tocca il quadrato dal basso e manda la nostra
creatura piatta a volteggiare e roteare sopra Flatlandia.
All'inizio, il quadrato non ha idea di cosa stia accadendo.
È terribilmente confuso.
È del tutto al di fuori della sua esperienza.
Ma dopo un po', si rende conto che sta
vedendo dentro stanze chiuse a Flatlandia.
Sta guardando all'interno delle altre creature piatte sue simili.
Sta vedendo Flatlandia da una prospettiva mai vista prima da nessuno, per quanto ne
sappia. Entrare in un'altra dimensione offre,
come beneficio
collaterale, una specie di vista a raggi X.
Ora la nostra creatura piatta scende lentamente verso la superficie,
e i suoi amici accorrono per vederlo.
Dal loro punto di vista, è misteriosamente apparso dal nulla.
Non è arrivato camminando da un altro posto. Viene da qualche altro luogo.
Dicono: "Per l'amor del cielo, cosa ti è successo?"
E il povero quadrato deve dire: "Beh, ero in un'altra
dimensione mistica chiamata 'su'".
E gli daranno una pacca sul lato per consolarlo,
oppure gli chiederanno: "Beh, mostraccela.
Dov'è quella tridimen... terza dimensione?
Indicala". E il povero quadrato non sarà in grado di farlo.
Ma forse ancora più interessante è l'altra direzione della
dimensionalità. Che dire della quarta dimensione?
Ora, per arrivarci, consideriamo un cubo.
Possiamo immaginare un cubo nel seguente modo.
Si prende un segmento e lo si sposta ad angolo retto con se stesso per
un'uguale
lunghezza. Si ottiene un quadrato. Muovete quel quadrato di pari lunghezza ad angolo
retto rispetto a sé stesso, e avrete un cubo.
Ora,
questo cubo, come sappiamo,
ehm, proietta un'ombra,
e
quell'ombra la riconosciamo. Viene, sapete,
di solito disegnata, ehm, in terza elementare come due
quadrati con i vertici collegati.
Ora, se guardiamo l'ombra di un
oggetto tridimensionale in due dimensioni, vediamo
che in questo caso non tutte le linee sembrano uguali.
Non tutti gli angoli sono retti.
L'oggetto tridimensionale non è stato rappresentato perfettamente nella proiezione
in due dimensioni, ma fa parte del prezzo da pagare per
la perdita di una dimensione nella proiezione.
Ora,
prendiamo questo cubo tridimensionale e
proiettiamolo, portiamolo attraverso una quarta
dimensione fisica. Non da quella parte, non da quella, non da quella,
ma ad angolo retto rispetto a quelle tre direzioni.
Non posso mostrarvi che direzione sia, ma immaginate che esista una quarta
dimensione fisica. In tal caso, genereremmo un
ipercubo a quattro dimensioni,
chiamato anche tesseratto.
Non posso mostrarvi un tesseratto perché io e voi siamo intrappolati
in tre dimensioni. Ma ciò che posso mostrarvi è l'ombra
in tre dimensioni di un ipercubo a quattro dimensioni, o
tesseratto. Eccolo qui.
E potete vedere due cubi annidati, con tutti i vertici
collegati da linee. E ora il
vero tesseratto a quattro dimensioni avrebbe tutte le
linee di uguale lunghezza e tutti gli angoli retti.
Non è ciò che vediamo qui, ma è lo scotto della proiezione.
Quindi vedete, sebbene non possiamo immaginare il mondo a
quattro dimensioni, possiamo senz'altro pensarci.
perfettamente bene.
Ora,
immagina un u-
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Original transcript (English)
In discussing the large scale structure of the cosmos, astronomers sometimes say that space is curved or that the universe is, uh, finite but unbounded. Whatever are they talking about?
Let's imagine that we are perfectly flat, I mean, absolutely flat, and that we live, appropriately enough, in a flat land, a land designed and named by Edwin Abbott, a Shakespearean scholar who lived in Victorian England.
Everybody in Flatland is, of course, exceptionally flat. We have squares and circles and triangles, and we all scurry about, and we can go into our houses and do our flat business. Now,
we have width and length, but no height at all. Now, these little cutouts have some little height, but let's ignore that. Let's imagine that these are absolutely flat.
That being the case, we know, us Flatlanders, about left right, and we know about forward back, but we have never heard of up down. Let us imagine that into Flatland, hovering above it,
comes a strange three-dimensional creature, which oddly enough looks like an apple. And the three-dimensional creature sees a, an attractive, congenial looking square, watches it enter its house, and decides, in
a gesture of interdimensional amity, to say hello. "Hello," says the three-dimensional creature. "How are you? I am a visitor from the third dimension." Well, the poor square
looks around his closed house, sees no one there, and what's more, has witnessed a greeting coming from his insides, a voice from within. He surely is getting a little worried about his sanity. The three-dimensional creature
is unhappy about being considered a psychological aberration, and so he descends to actually enter Flatland. Now, a three-dimensional creature exists in Flatland only partially. Only a plane, a cross-section
through him can be seen. So when the three-dimensional creature first reaches Flatland, it's only the points of contact which can be seen, and we'll represent that by stamping the apple in this ink pad and placing that image in Flatland.
And as the apple were to descend through, slither by Flatland, we would progressively see higher and higher slices, which we can represent by
cutting the apple. So the square, as time goes on, sees a set of objects mysteriously appear
from nowhere and inside a closed room and change their shape dramatically. His only conclusion could be that he's gone bonkers. Well, the apple might be a little annoyed at this conclusion and so,
not such a friendly gesture from dimension to dimension, makes a contact with the square from below and sends our flat creature fluttering and spinning above Flatland. At first, the square has no idea what's happening. He's terribly confused.
This is utterly outside his experience. But after a while, he comes to realize that he is seeing inside closed rooms in Flatland. He is looking inside his fellow flat creatures. He is seeing Flatland from a perspective no one has ever seen it before to his
knowledge. Getting into another dimension provides, as an incidental benefit, a kind of X-ray vision. Now our flat creature slowly descends to the surface, and his friends rush up to see him.
From their point of view, he has mysteriously appeared from nowhere. He hasn't walked from somewhere else. He's come from some other place. They say, "For heaven's sake, what's happened to you?" And the poor square has to say, "Well, I was in some other mystic dimension called up."
And they will pat him on his side and comfort him, or else they'll ask, "Well, show us. Where is that three-dimen- third dimension? Point to it." And the poor square will be unable to comply. But maybe more interesting is the other direction in
dimensionality. What about the fourth dimension? Now, to approach that, let's consider a cube. We can imagine a cube in the following way. You take a line segment and move it at right angles to itself in equal
length. That makes a square. Move that square in equal length at right angles to itself, and you have a cube. Now, this cube, we understand, um, casts a shadow,
and that shadow we recognize. It's, you know, ordinarily drawn in, uh, third grade classrooms as two squares with their vertices connected. Now, if we look at the shadow of a
three-dimensional object in two dimensions, we see that in this case, not all the lines appear equal. Not all the angles are right angles. The three-dimensional object has not been perfectly represented in its projection in two dimensions, but that's part of the cost of
losing a dimension in the projection. Now, let's take this three-dimensional cube and project it, carry it through a fourth physical dimension. Not that way, not that way, not that way,
but at right angles to those three directions. I can't show you what direction that is, but imagine that there is a fourth physical dimension. In that case, we would generate a four-dimensional hypercube, which is also called a tesseract.
I cannot show you a tesseract because I and you are trapped in three dimensions. But what I can show you is the shadow in three dimensions of a four-dimensional hypercube or a tesseract. This is it. And you can see it's two nested cubes, all the vertices
connected by lines. And now the real tesseract in four dimensions would have all the lines of equal length and all the angles right angles. That's not what we see here, but that's the penalty of projection. So you see, while we cannot imagine the world of
four dimensions, we can certainly think about it perfectly well. Now, imagine a u-
