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además, menos, x por y, x elevado a y, seno y coseno. Las mates están llenas de cosas complicadas
que haces con los números. Un nuevo y ambicioso artículo ahora afirma que, en realidad,
puedes hacerlo todo con una sola operación. Es una afirmación importante. Quizás eso por fin explique
por qué los estadounidenses tienen solo una “math”, mientras que los británicos tienen “maths”. Le he echado un vistazo.
El nuevo artículo es un preprint que apareció en el arXiv la otra semana y viene
de un matemático en Polonia. La operación única que, según él, puede darlo todo
es tomar la función exponencial de un número x menos el logaritmo de otro número y.
A eso lo llama ML, abreviatura de exponencial menos logaritmo. Por ejemplo, si metes x
y 1 en la función ML, obtienes e elevado a x menos logaritmo de 1. El logaritmo de 1 es 0,
así que esto te da solo la función exponencial. También puedes recuperar el logaritmo en sí.
Para esto, primero tomas ML de 1 y x, eso te da e menos log x. Luego lo vuelves a poner
en la primera casilla con otro 1. Así que ML de ML 1 x 1, eso da e a la e sobre x. Y luego
lo vuelves a poner en la segunda casilla de ML con un 1 en la primera. Si haces todo el álgebra,
todas las piezas adicionales se cancelan y te quedas solo con log de x. Así que la misma función te da
exponenciales y logaritmos de manera indirecta. Pero ¿cómo obtenemos las operaciones estándar,
suma, resta, multiplicación, etcétera? Todas están ahí. Tomemos la resta.
Acabamos de ver que puedes expresar la función exponencial y el logaritmo
mediante operaciones ML. Si vuelves a poner eso en la función ML, ¿qué obtienes?
Obtienes x menos y. También puedes obtener un más simplemente introduciendo menos y. Y ahora ves
que puedes poner la suma de dos logaritmos en el exponente de la función exponencial.
Eso te dará multiplicación. Y una vez que tienes multiplicación, puedes definir potencias y demás.
Si quieres obtener funciones trigonométricas, primero necesitas números imaginarios. Puedes obtenerlos
a partir del logaritmo en números negativos, aunque ahí hay un corte de rama. Sé que eso
suena como un accidente de jardinería, pero solo define el logaritmo para un número negativo.
Pero una vez que tienes eso, obtienes números complejos y obtienes seno y coseno e incluso el número
pi. Lo que no se obtiene, por lo que puedo ver, son todos los números reales empezando solo con uno y cero,
no sin tomar límites infinitos. Pero el autor no hace esa afirmación.
Él dice que uno puede obtener todas las operaciones matemáticas. El artículo aún no ha sido revisado por pares,
pero estoy razonablemente seguro de que es correcto. Vi a mucha gente en internet preocuparse por el
corte de rama arbitrario del logaritmo, pero no creo que eso importe. Sí, podrías
elegirlo de forma diferente y eso te daría una definición distinta de números complejos,
pero aun así funcionaría. Ahora, quizá te preguntes si esto es realmente útil. La respuesta es que,
para la gente normal, probablemente no. Nadie va a reemplazar una calculadora normal por una que tenga
un solo botón desquiciado que espera que vuelvas a construir el coseno anidando 15 operaciones diferentes.
La parte interesante es estructural. En la lógica informática, hay una operación lógica llamada NAND,
que por sí sola basta para construir todas las compuertas lógicas habituales de una computadora.
Este artículo intenta encontrar el análogo para las matemáticas continuas ordinarias.
La afirmación es que el ML es una especie de compuerta NAND para las calculadoras científicas.
Y hay un posible ángulo práctico. Si cada fórmula ordinaria se puede reescribir como un árbol
hecho de un mismo bloque de construcción repetido, eso te da una forma muy uniforme de buscar fórmulas
con una computadora. El autor sugiere que esto podría ser útil para la regresión simbólica, que significa
intentar adivinar la ecuación detrás de un conjunto de datos. Así que esto puede tener menos que ver con ayudar a los humanos a hacer matemáticas
y más con dar a las máquinas un lenguaje más sencillo en el que buscar ecuaciones.
Lo cual está bien, porque si las máquinas van a hacerse cargo de la ciencia,
entonces al menos lo harán de manera ordenada.
A este artículo le doy un cero de diez en el medidor de mierda. Es un artículo simpático. Creo que el punto
no es súper sorprendente para nadie, pero sí es sorprendente que nadie lo hubiera hecho antes.
Hay dos formas en que uno puede ver este resultado.
Una es que las matemáticas parecen más complicadas de lo que son. La otra forma de verlo es que
lo que consideramos complicado es muy subjetivo. Podrías argumentar con razón que quizá usar diez o
así que operaciones diferentes son más fáciles que anidar solo una operación en sí misma veinte veces. Al final,
depende de cómo cuantifiques exactamente la simplicidad. Este también es un problema que acecha los fundamentos
de la física, porque qué queremos decir realmente cuando decimos que las explicaciones simples son mejores
si no estamos de acuerdo en cómo medir la simplicidad?
O quizá solo nos muestra que los matemáticos tienen demasiado tiempo libre.
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Original transcript (English)
plus, minus, x times y, x to the power of y, sine and cosine. Maths is full with complicated operations that you do to numbers. An ambitious new paper now claims that actually, you can do everything with only one operation. That's quite a claim. Maybe that finally explains why the Americans have only one math, where the Brits have maths. I've had a look. The new paper is a preprint that appeared on the archive the other week and comes
from a mathematician in Poland. The one operation that he says can give everything is taking the exponential function of a number x minus the logarithm of another number y. He calls that ML, short for exponential minus logarithm. For example, if you put x and 1 into the ML function, you get e to the x minus log of 1. Log of 1 is 0, so this gives you just the exponential function. You can also get the logarithm itself back out.
For this, you first take ML of 1 and x, that gives you e minus log x. Then you put that back into the first slot with another 1. So ML of ML 1 x 1, that gives e to the e over x. And then you put that yet again into the second slot of ML with a 1 in the first. If you work through the algebra, all the extra pieces cancel and you're left with just log of x. So the same function gives you exponentials and logarithms indirectly. But how do we get the standard operations,
addition, subtraction, multiplication, etc? They're all in there. Take subtraction. We just saw that you can express the exponential function and the logarithm through ML operations. If you put those back into the ML function, what do you get? You get x minus y. You can also get a plus just by entering minus y. And now you see, you can put the sum of two logarithms into the exponent of the exponential function.
That'll give you multiplication. And once you have multiplication, you can define powers and so on. If you want to get trigonometric functions, you first need imaginary numbers. You can get those from the logarithm at negative numbers, though there's a branch cut involved there. I know that sounds like a gardening accident, but it just defines the logarithm for a negative number. But once you have that, you get complex numbers and you get sine and cosine and even the number
pi. What you do not get, for all I can see, is all real numbers starting from just one and zero, not without taking infinite limits. But the author doesn't make that claim. He says one can get all mathematical operations. The paper hasn't yet been peer-reviewed, but I'm reasonably sure it's correct. I saw a lot of people online worry about the arbitrary branch cut of the logarithm, but I don't think this matters. Yes, you could
choose it differently and that'd give you a different definition of complex numbers, but it'd still work. Now, you may be wondering whether this is actually useful. The answer is, for normal people, probably not. No one's going to replace a normal calculator with one that has a single deranged button that expects you to rebuild cosine by nesting 15 different operations. The interesting part is structural. In computer logic, there's a logical operation called NAND,
which is enough on its own to build all the usual logical gates in a computer. This paper's trying to find the analog for ordinary continuous maths. The claim is that ML is kind of a NAND gate for scientific calculators. And there is a possible practical angle. If every ordinary formula can be rewritten as a tree made from one repeated building block, then that gives you a very uniform way to search for formulas
with a computer. The author suggests this could be useful for symbolic regression, which means trying to guess the equation behind a set of data. So this may be less about helping humans do maths and more about giving machines a simpler language in which to search for equations. Which is nice, because if the machines are going to take over science, then at least they will do it in an orderly manner.
I give this paper a 0 out of 10 on the bullshit meter. It's a cute paper. I think that the point isn't super surprising to anyone, but it is surprising that no one has done it before. There are two ways one can look at this result. One is that mathematics appears more complicated than it is. The other way to look at it is that what we think of as complicated is very subjective. You could rightfully argue that maybe using 10 or
so different operations is easier than nesting just one operation 20 times in itself. In the end, it depends on just how you quantify simplicity. This is also an issue that haunts the foundations of physics, because what really do we mean when we say that simple explanations are better if we don't agree on how to measure simplicity? Or maybe it just tells us that mathematicians have too much time.
