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Understanding Dimensions in Cosmology
Ao discutir a estrutura em grande escala do cosmo,
os astrônomos às vezes dizem que o espaço é curvo
ou
que o universo é, ah, finito mas ilimitado.
Afinal, do que eles estão falando?
Vamos imaginar que somos perfeitamente planos, quer dizer
absolutamente planos e que vivemos, apropriadamente
o bastante, numa terra plana, uma
terra criada e batizada por Edwin Abbott, um
estudioso de Shakespeare que viveu na Inglaterra vitoriana.
Todos em Flatland são, é claro, excepcionalmente planos.
Temos quadrados, círculos, triângulos e todos nós
andamos depressa e podemos entrar em nossas casas e cuidar dos
nossos afazeres planos.
Ora,
nós
temos largura e comprimento, mas nenhuma
altura. Ora, esses pequenos recortes têm um pouco de
altura,
mas vamos ignorar isso. Vamos imaginar que são absolutamente planos.
Sendo esse o caso,
nós, habitantes da Planolândia, sabemos sobre esquerda-direita e sabemos sobre
frente-trás, mas nunca ouvimos falar de
cima-baixo. Imaginemos
que, na Planolândia, pairando sobre ela,
surge uma estranha criatura tridimensional que,
curiosamente, parece uma maçã.
E a criatura tridimensional vê um quadrado atraente,
de aspecto afável,
observa-o entrar em sua casa e decide, em um
gesto de amizade interdimensional, dizer
olá.
"Olá", diz a criatura tridimensional. "Como vai?
Sou um visitante da terceira dimensão."
Bem, o pobre quadrado
olha ao redor de sua casa fechada, não vê ninguém
ali e, além disso, testemunhou uma
saudação vinda de dentro dele, uma voz interior.
Ele certamente está ficando um pouco preocupado com sua saúde mental.
A criatura tridimensional está descontente por ser considerada
uma aberração psicológica, então ela
desce para realmente entrar em Flatland.
Agora, uma criatura tridimensional existe em
Flatland apenas
parcialmente. Apenas um plano, uma seção transversal dela,
pode ser visto. Então, quando a criatura tridimensional
chega pela primeira vez a Flatland, são apenas os pontos de contato
que podem ser
vistos, e vamos representar isso carimbando a maçã
nesta almofada de tinta e
colocando essa imagem em Flatland.
E
à medida que a maçã descesse através de, rastejasse por Flatland,
veríamos progressivamente fatias cada vez mais altas,
and higher slices,
que podemos representar cortando
a maçã.
Assim, o quadrado,
com o passar do tempo,
vê objetos misteriosamente
surgirem do nada
dentro de uma sala fechada e mudarem de forma
dramaticamente. Sua única conclusão poderia ser
que ele tenha ficado
louco. Bem, a maçã pode ficar um pouco incomodada com
esta
conclusão e então,
num gesto não muito amigável de uma dimensão para outra,
faz contato com o quadrado por baixo e envia nossa
criatura plana esvoaçando e girando acima de Flatland.
A princípio, o quadrado não faz ideia do que está acontecendo.
Ele está terrivelmente confuso.
Isso está totalmente fora de sua experiência.
Mas, depois de um tempo,
ele percebe que está vendo o interior de
salas fechadas em Flatland. Ele está olhando
dentro de suas criaturas planas companheiras.
Ele vê Flatland de uma perspectiva que ninguém jamais viu antes, até onde
ele sabe. Entrar em outra dimensão proporciona,
como um
benefício incidental, uma espécie de visão de raios X.
Agora nossa criatura plana desce lentamente até a superfície,
e os amigos dele correm para vê-lo.
Do ponto de vista deles, ele apareceu misteriosamente do nada.
Ele não veio caminhando de outro lugar.
Ele veio de algum outro lugar. Eles dizem: "Pelo amor de Deus,
o que aconteceu com você?"
E o pobre quadrado tem de dizer: "Bem, eu estava em alguma
outra dimensão mística chamada Cima."
E eles darão tapinhas no lado dele e
o consolarão, ou então perguntarão: "Bem, mostre-nos.
Onde está essa terceira dimensão tridimen—
Aponte para ela." E o pobre quadrado será incapaz de fazê-lo.
Mas talvez seja mais interessante a outra direção na
dimensionalidade. E a quarta dimensão?
Agora, para abordar isso, vamos considerar um cubo.
Podemos imaginar um cubo da seguinte maneira.
Você pega um segmento de reta e o move perpendicularmente a si mesmo em
de igual comprimento. Isso forma um quadrado.
Mova esse quadrado uma distância igual em ângulos retos em relação a si mesmo, e você terá um
cubo.
Agora,
entendemos que este cubo,
hum, projeta uma sombra.
E
reconhecemos essa sombra. Ela é, sabe,
normalmente desenhada em, ah, salas de aula da terceira série como dois
quadrados com seus vértices conectados.
Agora, se observarmos a sombra de um
objeto tridimensional em duas dimensões,
veremos que, neste caso, nem todas as linhas parecem ter
o mesmo comprimento. Nem todos os ângulos são retos.
O objeto tridimensional não foi perfeitamente representado em sua projeção
em duas dimensões, mas isso é parte do custo de
perder uma dimensão na projeção.
Agora,
vamos pegar este cubo tridimensional
e projetá-lo, levá-lo através de uma quarta dimensão
física. Não nessa direção, não nessa direção, não nessa
maneira, mas em ângulos retos a essas três
direções.
Não posso mostrar em que direção é essa, mas imagine que existe uma quarta
dimensão física.
Nesse caso, geraríamos um hipercubo
quadridimensional,
que também se chama tesserato.
Não posso mostrar um tesserato porque eu e você estamos
presos em três dimensões. Mas o que posso mostrar é a
sombra em três dimensões de um hipercubo
quadridimensional, ou tesserato. É isto.
E você pode ver que são dois cubos aninhados, todos os vértices
conectados por linhas. E agora o
tesserato real em quatro dimensões teria todas as
linhas de igual comprimento e todos os ângulos retos.
Não é isso que vemos aqui, mas esse é o preço da
projeção.
Então, veja, embora não possamos imaginar o mundo do
quatro dimensões, certamente podemos pensar nisso
perfeitamente bem.
Agora,
imaginem um universo igualzinho a Flatland, verdadeiramente bidimensional
e completamente plano em todas as direções,
mas com uma exceção.
Sem que os habitantes saibam, o universo bidimensional deles é
curvado em uma terceira dimensão física,
talvez em uma esfera, mas, de qualquer forma, em algo totalmente
fora da experiência deles.
Localmente, o universo deles ainda parece bastante plano,
mas se um
deles, muito menor e mais plano do que eu, fizer
uma caminhada muito longa ao longo do que parece ser uma linha reta,
ele descobrirá um grande mistério.
Suponham que ele marque seu ponto de partida aqui
e parta para explorar seu universo.
Ele nunca dá meia-volta e nunca alcança uma borda.
Ele não sabe que seu universo aparentemente plano é
na verdade se curvava formando uma esfera enorme.
Ele não percebe que está andando ao redor de um globo.
Por que o espaço dele seria curvo? Porque há tanta matéria neste
universo que ela deforma gravitacionalmente o espaço, fechando-o de volta sobre
si mesmo, formando uma esfera. Mas nosso Habitante Plano não sabe disso.
Depois de muito tempo, ele descobrirá que, de algum modo, retorna ao seu
ponto de
partida.
Deve haver uma terceira dimensão. Nosso
Habitante Plano não conseguia imaginar uma terceira dimensão, mas ele
certamente poderia deduzi-la. Agora, aumente todas as dimensões desta história
em uma e terá algo parecido com a situação que muitos
cosmólogos acham que pode realmente se aplicar a nós.
Somos criaturas tridimensionais presas em três
dimensões. Imaginamos que nosso universo seja plano em
três
dimensões, mas talvez ele se curve em uma
quarta.
Podemos falar de uma quarta dimensão física, mas não podemos vivenciá-la.
Ninguém consegue apontar para a quarta dimensão.
Quero dizer, há esquerda, direita, há frente, trás, há cima,
baixo e, hum,
há, hum, alguma outra direção que seja simultaneamente
perpendicular às
três dimensões conhecidas.
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Original transcript (English)
In discussing the large-scale structure of the cosmos, astronomers sometimes say that space is curved or that the universe is, uh, finite but unbounded. Whatever are they talking about?
Let's imagine that we are perfectly flat, I mean absolutely flat, and that we live, appropriately enough, in a flat land, a land designed and named by Edwin Abbott, a Shakespearean scholar who lived in Victorian England.
Everybody in Flatland is, of course, exceptionally flat. We have squares, circles, triangles, and we all scurry about, and we can go into our houses and do our flat business. Now,
we have width and length, but no height at all. Now, these little cutouts have some little height, but let's ignore that. Let's imagine that these are absolutely flat.
That being the case, we know, us Flatlanders, about left-right, and we know about forward-back, but we have never heard of up-down. Let us imagine that into Flatland, hovering above it,
comes a strange three-dimensional creature which, oddly enough, looks like an apple. And the three-dimensional creature sees an attractive, congenial-looking square, watches it enter its house, and decides, in a
gesture of interdimensional amity, to say hello. "Hello," says the three-dimensional creature. "How are you? I am a visitor from the third dimension." Well, the poor square
looks around his closed house, sees no one there, and what's more, has witnessed a greeting coming from his insides, a voice from within. He surely is getting a little worried about his sanity. The three-dimensional creature is unhappy about being considered
a psychological aberration, and so he descends to actually enter Flatland. Now, a three-dimensional creature exists in Flatland only partially. Only a plane, a cross-section through
him can be seen. So when the three-dimensional creature first reaches Flatland, it's only the points of contact which can be seen, and we'll represent that by stamping the apple in this ink pad and
placing that image in Flatland. And as the apple were to descend through, slither by Flatland, we would progressively see higher and higher slices,
which we can represent by cutting the apple. So the square, as time goes on, sees a set of objects mysteriously
appear from nowhere and inside a closed room and change their shape dramatically. His only conclusion could be that he's gone bonkers. Well, the apple might be a little annoyed at
this conclusion, and so not such a friendly gesture from dimension to dimension, makes a contact with the square from below and sends our flat creature fluttering and spinning above Flatland.
At first, the square has no idea what's happening. He's terribly confused. This is utterly outside his experience. But after a while, he comes to realize that he is seeing inside
closed rooms in Flatland. He is looking inside his fellow flat creatures. He is seeing Flatland from a perspective no one has ever seen it before, to his knowledge. Getting into another dimension provides, as an
incidental benefit, a kind of X-ray vision. Now our flat creature slowly descends to the surface, and his friends rush up to see him. From their point of view, he has mysteriously appeared from nowhere. He hasn't walked from somewhere else.
He's come from some other place. They say, "For heaven's sake, what's happened to you?" And the poor square has to say, "Well, I was in some other mystic dimension called Up." And they will pat him on his side and
comfort him, or else they'll ask, "Well, show us. Where is that three-dimen- third dimension? Point to it." And the poor square will be unable to comply. But maybe more interesting is the other direction in dimensionality. What about the fourth dimension?
Now, to approach that, let's consider a cube. We can imagine a cube in the following way. You take a line segment and move it at right angles to itself an equal length. That makes a square. Move that square an equal length at right angles to itself, and you have a
cube. Now, this cube, we understand, um, casts a shadow. And
that shadow we recognize. It's, you know, ordinarily drawn in, uh, third-grade classrooms as two squares with their vertices connected. Now, if we look at the shadow of a three-dimensional object in two dimensions, we
see that in this case, not all the lines appear equal. Not all the angles are right angles. The three-dimensional object has not been perfectly represented in its projection in two dimensions, but that's part of the cost of losing a dimension in the projection.
Now, let's take this three-dimensional cube and project it, carry it through a fourth physical dimension. Not that way, not that way, not that way, but at right angles to those three
directions. I can't show you what direction that is, but imagine that there is a fourth physical dimension. In that case, we would generate a four-dimensional hypercube,
which is also called a tesseract. I cannot show you a tesseract because I and you are trapped in three dimensions. But what I can show you is the shadow in three dimensions of a four-dimensional hypercube or tesseract. This is it.
And you can see it's two nested cubes, all the vertices connected by lines. And now the real tesseract in four dimensions would have all the lines of equal length and all the angles right angles. That's not what we see here, but that's the penalty of
projection. So you see, while we cannot imagine the world of four dimensions, we can certainly think about it perfectly well. Now,
imagine a universe just like Flatland, truly two-dimensional and entirely flat in every direction, but with one exception. Unbeknownst to the inhabitants, their two-dimensional universe is curved into a third physical dimension,
maybe into a sphere, but at any rate, into something entirely outside their experience. Locally, their universe still looks flat enough, but if one of them, much smaller and flatter than me, takes
a very long walk along what seems to be a straight line, he would uncover a great mystery. Suppose he marked his starting point here and set off to explore his universe. He never turns around and he never reaches an edge.
He doesn't know that his apparently flat universe is actually curved into an enormous sphere. He doesn't sense that he's walking around a globe. Why should his space be curved? Because there's so much matter in this universe that it gravitationally warps space, closing it back on
itself into a sphere. But our Flatlander doesn't know this. After a long while, he'll find he somehow returns to his starting point. There must be a third dimension. Our
Flatlander couldn't imagine a third dimension, but he could sure deduce it. Now, increase all the dimensions in this story by one and you have something like the situation which many cosmologists think may actually apply to us. We are three-dimensional creatures trapped in three
dimensions. We imagine our universe to be flat in three dimensions, but maybe it's curved into a fourth. We can talk about a fourth physical dimension, but we can't experience it.
No one can point to the fourth dimension. I mean, there's left, right, and there's forward, back, there's up, down, and, uh, there's, uh, some other direction simultaneously at right angles to
those familiar three dimensions.
